의료인공지능 오마카세 Week 10 - 의학이 수학을 만날 때: 폐암에서의 미분방정식의 활용

수식이 깨질 경우 링크에서 보실 수 있습니다.

이번 오마카세에서는 폐암 진단에서 수학이 어떻게 활용되는지 살펴보겠습니다.

의학 연구를 하다 보면 연구 단계의 기술과 실제 의료 현장에 쓰이는 기술들의 gap이 매우 크다는 것을 알게 됩니다. 이 중에서 오늘은 실제로 의사들이 (모른채로) 매일 쓰는 미분방정식 관련 이야기를 해보겠습니다.

폐암을 건강검진에서 CT로 촬영하게 되면, 제 아무리 뛰어난 의사라고 하더라도 모든 폐 내부의 덩어리를 한 번의 판독만으로 암으로 정확하게 진단하는 것은 불가능합니다. 따라서 의사들은 NLST라는 임상시험과 NELSON이라는 임상시험을 통해서 폐암의 특성과 진단기준을 개발하였는데요, NLST는 미국 그룹의 연구이고 NELSON은 유럽 그룹의 연구입니다. NLST 연구는 Lung-RADS라는 가이드라인을 만들었고 NELSON 연구는 자체적인 가이드라인을 만들었어서 현재 미국과 유럽의 모든 폐암검진은 Lung-RADS와 NELSON 가이드라인들을 따라 판독되고 진단, 관리됩니다.

Lung-RADS 2022 guideline중 일부. Diameter이 메인이고 volume이 괄호 안에 기술된 것을 볼 수 있습니다.

NELSON 가이드라인 중 일부. 아래편의 NEXT ANNUAL SCREENING ROUND에 VDT가 보입니다.

앞서 기술하였듯 한 번의 CT 촬영만으로 폐암인지 단순 덩어리인지 판독하는 것은 항상 가능하지는 않습니다. 따라서 의사들은 추적관찰(follow-up; FU)이라는 시간차 촬영과 판독을 통해서 폐암의 성장 속도를 판단하고는 합니다. 이 판단 과정은 물론 오 커진거같음이 아니라 정량적인 수치를 통해 객관적으로 판단되어야겠죠. 이 때 Lung-RADS에서는 폐암의 diameter이 얼마나 증감했는지를 통해 폐암 여부를 판독하고, NELSON 가이드라인에서는 volumetry, 즉 폐암 volume의 측정을 통해 폐암인지 단순 덩어리인지를 판독합니다.

NELSON+ 가이드라인에서는 폐 내부의 덩어리의 volume이 두 배가 되는 시간인 volume doubling time을 통해 폐암 여부를 가려내곤 합니다. 이 VDT는 다음처럼 기술됩니다:

\[\text{VDT} = \frac{\ln 2\times\Delta T}{\ln\text{FU}-\ln\text{BL}}\]

(여기서 BL은 baseline의 약자로 최초 촬영을 말합니다.) 이 식이 바로 미분방정식을 통해 도출된 식입니다.

먼저 폐 덩어리의 부피 $V$가 다음 식을 따라 exponential하게 증가한다고 가정합시다:

\[\frac{dV}{dt}=k\cdot V\]

그러면 우리는 $V$가 다음의 exact solution을 가짐을 알고 있습니다:

\[V=V_0\cdot\exp(kt)\]

이제 최초 CT scan에서 발견된 덩어리의 volume $V_0$와 시간이 $T$만큼 흐른 뒤 FU에서 관찰된 덩어리의 volume $V_1$에 대해 다음 두 식을 연립합시다:

\[V_0=V_0\cdot\exp(k\cdot0)\] \[V_1=V_0\cdot\exp(k\cdot T)\]

이제 일반적인 촬영시점 $T(\text{FU})$과 $T(\text{BL})$에 대해서 부피가 $V(\text{FU})$과 $V(\text{BL})$였던 덩어리에 대해서 위 논리를 전개해 봅시다. 여기서의 $T_1, T_2, V_1, V_2$는 위 논리에서의 문자와 겹치지만 다른 notation입니다.

이제 volume doubling time, VDT를 구하기 위해 $V_1=2\cdot V_0$으로 두고 위 식들을 나누면 $2=\exp(kT)$가 됩니다. 즉, $k = \ln 2 / T$ 가 되는 것이지요. 부피가 두 배가 되는 시점의 시간 $T$를 측정한 것이므로 우리는 $T$를 VDT라는 문자로 두어도 괜찮다는 논증을 펼칠 수 있습니다:

\[k = \ln 2 / \text{VDT}\]

이 때 VDT는 각 덩어리마다 가지고 있는 고유한 상수로 취급할 수 있습니다.

\[V(\text{FU}) = V_0 \cdot\exp(\ln2 \cdot (T(\text{FU}) / \text{VDT}))\] \[V(\text{BL}) = V_0 \cdot\exp(\ln2 \cdot (T(\text{BL}) / \text{VDT}))\]

역시나 위 두 식을 나눠주면

\[\frac{V(\text{FU})}{V(\text{BL})} = \exp(\ln 2 \cdot (T(\text{FU}) - T(\text{BL})) / \text{VDT}) = \exp(\frac{\ln2 \cdot \Delta T}{ \text{VDT}})\]

가 되겠지요. 이 식을 정리하면

이 됩니다.

\[\text{VDT} = \frac{\ln2 \cdot \Delta T}{\ln (\frac{V(\text{FU})}{V(\text{BL})})}\]

미적분학 시간에 다룰 법한 간단한 미분방정식이지만 이 VDT 식은 의사들이 폐암을 정확히 가려내는 것을 도와줌으로 정말로 사람들을 살리는 공식으로 자리매김한지 오래입니다.

이렇게 오늘은 미방이 사람의 목숨을 살리는 경우에 대해 살펴보았습니다.