Introduction
멜서스(Malthus)는 1798년 인구론에서 인구 증가 모형(Malthus equation)를 제시했다.
이 모형은
\[\frac{dN}{dt} = \alpha(t)\cdot N(t)\]로 정의되는 상미분방정식(Ordinary Differential Equation; ODE)로서 $\alpha(t)$가 상수라면 심플한 exact solution $N(t) = N_0\cdot e^{\alpha\cdot t}$를 가진다.
그런데 이 세상이 이렇게 심플하고 아름다울까? 그럴리가 없다. 따라서 우리는 다음과 같은 방정식을 생각해볼 수 있다.
\[\alpha(t) = r(t) + \text{noise}\]즉, 증가율이 오락가락 하는 상황을 생각해볼 수 있는 것이다.
이를 일반화하면 다음과 같은 미분방정식으로 상황을 기술할 수 있다.
\[\frac{dX_t}{dt} = rX_t + \alpha X_t \cdot \text{noise}\]이를 어떻게 풀 것인가? Stochastic Differential Equations의 주된 관심사가 바로 이러한 문제를 해결하자는 것이다.
Brownian Motion
1828년 스코틀랜드의 식물학자 Robert Brown은 물 속에 떨어진 꽃가루들이 불규칙한 운동을 하는 것을 관찰했다. 이는 나중에 액체 분자와 매우 가벼운 꽃가루들이 랜덤한 충똘을 함으로 일어난다는 것이 밝혀졌는데, 이 운동을 수학적으로 기술하기 위해서 브라운 운동이 탄생했다.
브라운 운동 $B_t(\omega)$는 시점 $t$에서 입자 $\omega$의 위치를 기술하는 수학적 formulation으로, 좋은 조건에 의해서 존재한다는 것을 증명할 수 있다.
$x\in\mathbb{R}^n$을 고정해놓고, 모든 $y\in\mathbb{R}^n$과 $t>0$에 대하여 $p(t,x,y)$를
\[p(t,x,y) = (2\pi t)^{-n/2} \cdot \exp(-\frac{|x-y|^2}{2t})\]로 정의하면,
앞서 언급한 좋은 조건에 의해, 어떤 probability space $(\Omega, F, P^x)$가 존재하여
\[P^x(B_{t_1}\in F_1, \cdots, B_{t_k}\in F_k) = \int_{F_1\times\cdots\times F_k}p(t_1,x,x_1)\cdots p(t_k-t_{k-1},x_{k-1},x_k)dx_1\cdots dx_k\]로 정의되는 process를 Brownian motion(의 한 버전)이라고 하기로 한다.
Brownian motion의 특징들은 다음과 같다.
- $B_t$는 Gaussian Process이다.
- $B_t$는 independent increments를 가진다. 즉, $B_{t_1}, B_{t_2} - B_{t_1}, \cdots, B_{t_k} - B_{t_{k-1}}$은 독립이다.
이제 다시 앞서 문제로 돌아가서 일반화된 stochastic differential equation
\[\frac{dX}{dt} = b(t,X_t) + \sigma(t,X_t)\cdot W_t\]을 살펴보자.
상황을 간단하게 하기 위해서, 다음 차분 방정식을 살펴보자.
\[X_{k+1} - X_k = b(t_k, X_k)\Delta t_k + \sigma(t_k, X_k)W_k\Delta t_k\]여기에서 $X_j = X(t_j)$이고, $W_k = W_{t_k}$이고, $\Delta t_k = t_{k+1} - t_k$이다.
이제 White noise $W_k$를 버리고 $\Delta V_k = W_k \Delta t_k$라는 notation을 쓰자. 이때 $V_k$가 가져야 할 조건은 stationary independent increments with mean 0라는 조건 정도이다. 운이 좋게도, continuous path를 가지는 그러한 $V_k$는 Brownian motion밖에 없다는 것이 알려져 있다(Kallenberg, 2002. Thm 13.4).
따라서 우리는 $V_k = B_k$라고 쓸 수 있고, 위 식을 정리하면
\[X_k = X_0 + \sum_{j=0}^{k-1} b(t_j, X_j)\Delta t_j + \sum_{j=0}^{k-1} \sigma(t_j, X_j)\Delta B_j\]가 됨을 알 수 있다. 이제 $\Delta t_j\to0$으로 보내면 식은 다음처럼 변한다.
\[X_t = X_0 + \int_{0}^{t} b(s,X_s)ds + \int_{0}^t \sigma(s,X_s) dB_S\]잠깐, 우변의 마지막 항에 있는 $dB_s$는 잘 정의되는가?
Kiyoshi Ito의 업적이 바로 그것이었고, 우리는 이를 Ito calculus라고 부른다.
Ito integral을 정의하기 이전에, Ito isometry라고 부르는 중요한 관찰을 먼저 하고 넘어가자.
만약 $\phi(t,\omega)$가 bounded고 좋은 조건(elementary)을 가진다면,
\[\mathbb{E}((\int_{S}^{T}\phi(t,\omega)dB_t(w))^2) = \mathbb{E}(\int_S^T\phi(t,\omega)^2dt)\]가 성립한다. 이를 통해서 좋은 함수(elementary function)들로부터 좀 더 일반화된 함수들로 확장을 할 수 있고, 이를 통해 Ito integral을 다음처럼 정의할 수 있다.
\[\int_S^T f(t,\omega)dB_t(\omega) = \lim_{n\to\infty}\int_{S}^T\phi_n(t,\omega)dB_t(\omega)\]이 때 $\phi_n$들은 좋은 조건을 만족시키는(elementary) 함수로서 $n\to\infty$일때
\[\mathbb{E}(\int_{S}^{T} (f(t,\omega) - \phi_n(t,\omega))^2dt)\to0\]를 만족시킨다.
이렇게 Ito integral을 정의해놓고 나면 다음 공식을 얻을 수 있고, 이는 stochastic differential equation에 있어서 매우 중요한 공식이 된다.
1-dimensional Ito formula
$X_t$를 다음처럼 주어진 Ito process라고 하자.
\[dX_t = udt + vdB_t\]그러면 두 번 미분 가능하고 그 도함수가 연속인 함수 $g(t,x)\in C^2$에 대해서,
\(Y_t = g(t,X_t)\) 또한 Ito process이고 다음이 성립한다.
\[dY_t = \frac{\partial g}{\partial t}(t,X_t)dt + \frac{\partial g}{\partial x}(t,X_t)dX_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}(t,X_t) \cdot (dX_t)^2\]이 때, $(dX_t)^2 = (dX_t)\cdot(dX_t)$는 다음 규칙에 따라 계산된다: $dt\cdot dt = dt\cdot dB_t = dB_t\cdot dt = 0$, $dB_t\cdot dB_t = dt$
구체적인 예를 들어 살펴보자.
\[\int_{0}^{t} B_sdB_s = \frac{1}{2}B_t^2 - \frac{1}{2}t\]이다. 유도는 다음과 같다.
$X_t = B_t$로 놓고, $g(t,x) = \frac{1}{2}x^2$으로 두자. 그러면 $Y_t = \frac{1}{2}B_t^2$이고, Ito formula에 의해
\[dY_t = \frac{\partial g}{\partial t}(t,X_t)dt + \frac{\partial g}{\partial x}(t,X_t)dX_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}(t,X_t) \cdot (dX_t)^2\] \[=B_tdB_t + \frac{1}{2}(dB_t)^2 = B_tdB_t + \frac{1}{2}dt\]이다. 즉,
\(\frac{1}{2}B_t^2 = \int_{0}^t B_sdB_s + \frac{1}{2}t\) 이다.
1편은 여기까지$\cdots$